线性方程组求解,线性方程组的求解与解空间的问题

设线性方程AX=β存在解。当任意向量Y出现时，有A的转置与Y的点乘结果为零，即A^tY=0。这引发我们进一步探索其背后的数学结构。

定义矩阵的概念，Kernel of A的转置矩阵KerA^t是由满足A^tY=0的所有向量Y构成的集合。而Image of A矩阵ImA则是由所有可能的AX构成的集合，这里的X是任意的向量。

假设β是一个与KerA^t正交的向量，即β∈[KerA^t]^┴。这意味着向量β不在KerA^t的空间里。由此我们可以推出，Dim{[KerA^t]^┴}，也就是与KerA^t正交的子空间的维度，等于n减去KerA^t的维度。更具体地说，这个维度等于转置矩阵A^t的秩R(A^t)，也与原矩阵A的秩R(A)相等，并且等于ImA的维度。

对于任意的AX属于ImA，以及任意的Y属于KerA^t，它们之间的点乘结果为零。这意味着AX这个向量实际上是与KerA^t正交的。我们可以得出结论，ImA是[KerA^t]^┴的子空间。由于它们的维度相同，所以ImA与[KerA^t]^┴重合。这就意味着存在某个向量X，使得线性方程AX等于β成立，从而证明了我们的假设。

这个结论在数学上非常重要，它揭示了线性方程解的存在性与矩阵的秩之间的关系。它也进一步强调了矩阵的转置和核空间在解决线性代数问题中的关键作用。