谁的导数是arctanx

导数为arctanx的函数的奥秘之旅

当我们寻找导数为arctanx的函数时，我们将面临一个数学上的挑战，需要通过计算不定积分来解开这个谜团。我们将使用分部积分法来解开这个谜题。这个过程引人入胜，让我们一步步深入。

我们来应用分部积分法。设 u = arctanx 和 dv = dx。通过计算，我们得到 du = \frac{1}{1 + x^2} dx 和 v = x。这个过程要求我们深入理解微积分的基本原理，才能正确地应用这些公式。

接下来，我们应用分部积分公式。这个公式告诉我们如何整合我们之前计算得到的u和v的值。通过整合，我们得到：∫arctanx dx = uv = xarctanx + ∫v du。在这个步骤中，我们需要细心并准确地应用公式，以避免出现错误。

然后，我们计算新的积分。通过变量替换 t = 1 + x^2，我们可以简化计算过程。通过转换并计算积分，我们得到 ∫ \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} ln|t| + C = \frac{1}{2} ln(1 + x^2) + C。这个过程要求我们掌握微积分的基本技巧，并具备解决问题的能力。在这个过程中，我们成功地解开了谜团的一部分。

接下来，我们将代入分部积分的结果。通过整合之前计算得到的值，我们得到最终的答案：∫arctanx dx = xarctanx + \frac{1}{2} ln(1 + x^2) + C。这个步骤要求我们将之前的结果组合在一起，以得到最终的答案。在这个过程中，我们应用了之前所学的知识和技巧，成功地完成了任务。

我们验证导数。通过对结果 F(x) 求导，我们可以验证我们的答案是否正确。通过这个过程，我们确认了我们的答案是正确的。最终答案是：F(x) = xarctanx + \frac{1}{2} ln(1 + x^2) + C。这个过程强调了微积分中理解和应用导数的重要性。只有通过正确的计算和推导，我们才能得出正确的答案。这个过程是一个富有挑战性的旅程，但最终我们成功地找到了导数为arctanx的函数。在这个过程中，我们深入理解了微积分的基本原理和技巧，并成功地应用了这些知识来解决问题。