高中几何;高中几何经典例题及答案

一、椭圆经典例题详解

题目（改编自2024北京高考题）：

已知椭圆C的焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过点(0,t)（t＞√2）的直线l与椭圆交于A、B两点，C(0,1)，连接AC交椭圆于D。

解答部分：

1. 求椭圆C的方程和离心率：

根据题意，椭圆的短轴和焦点构成的正方形边长为2，意味着短轴长度和焦距均为2。短轴长度的一半即短半轴b=c=1。根据椭圆的性质，长半轴a=√(b+c)=√2。椭圆C的方程为：$\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$。离心率e=c/a=√2/√2=$\frac{\sqrt{2}}{2}$。

2. 求t的值，当直线BD的斜率为0时：

首先考虑直线AD斜率不存在的情况，此时A(0,√2)，D(0,-√2)，对于任意t＞√2，都满足条件。若斜率存在，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系以及题目给定的斜率条件，可以推导出t=2。

二、双曲线与抛物线的交融

题目：

1. 双曲线与给定圆相切，且与双曲线左右支交于两点，求解相关参数的范围及最小值。

2. 抛物线y=4x与给定圆相交于A、B两点，求线段AB的长度。

解答部分：

1. 对于双曲线与圆的相交问题：

通过联立双曲线与圆的方程，结合相切的条件，可以推导出参数的取值范围。经过计算，参数k的取值范围为(-\infty, -1) ∪ (1, +\infty)，并且可以获得最小值。

2. 对于抛物线y=4x与圆的交点问题：

联立两个方程，利用弦长公式，可以求得线段AB的长度为定值4。

三、直线与圆的对称之美

关于直线关于点的对称直线的求解问题：通过设定对称直线的斜率，结合对称点的距离相等和斜率之间的关系，可以求得对称直线的方程为3x+2y+5=0。这种对称关系在几何中十分常见且充满美感。四、几何解题的钥匙技巧总结 在解决几何问题时，有几个关键的技巧值得注意： 画图辅助：几何问题往往通过图形能够更直观地展现出来，特别是对于那些定点、定值的问题，画图能够帮助我们更快速地找到解决方案。 计算训练：许多几何问题最终都需要通过计算来解决，避免过度依赖技巧，坚持完整的计算过程，通过大量的练习提高熟练度。 题型分类：几何题型繁多，但很多题型之间存在相似之处。一定要对题型进行分类，掌握各类题型的解题方法和思路。例如，定值最值问题、位置关系判定等。 无论是椭圆的经典例题、双曲线与抛物线的交融、直线与圆的对称问题，还是解题技巧的总结，都展示了数学的魅力和几何的美丽。通过深入理解和实践这些知识和技巧，我们可以更轻松地解决几何问题。